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De Moivre's Theorem - Statement, i), , If 'n' is an integer (positive or negative) then, (cos 9+ i sin 0)° = cos ne + i sin n0, , ii) If 'n' is a fraction, then cos ne + i sin ne is one of the values of (cos e+ isin 0)°, , Example:, 3, , i), , (cos 9+ i sin 0), , ii), , (cos 9+ i sin er', , = cos 30 + i sin 30, = cos (-0) + i sin (-0), = cos 0 - i sin 0, , Results:, 1), , (cos 9+ i sin er, , 0, , = cos (-n0) + i sin (-n9), = cos n0-i sin ne, , 2), , cos 8+ i sinO, , = (cos e+ i sin er', = cos (-0) + i sin (-0), = cos 0-i sin 0, , 3), , 1, , cos 8- I slnO, , = (cos 0-i sin er', = cos (-0)-i sin (-0), = cos e +i sine, , 4), , sin e+ i cos e =, , cos (90-0) +i sin (90-0), , MATH FACT, (i) sine+ i cos 9= i (cos e - i sin 9), (ii) sin 9 - i cos 9 = -i (cos 9 + i sin 9), (iii) cos (-0) = cos 9, (iv) sin (-9) = -sin 9, , Note:, 1. If a = cos a+ i sin a, b = cos, , ~, , (i) ab= (cos a + i sin a) (cos, , + i sin, ~, , ~, , then, , + i sin ~), , ab = cos (a+~) +i sin (a.+~~, (ii)!. = cos a+ I sin a, b, cos~+ I sin ~, , ~ = cos (a- P) + i sin (a- P>, , I, , 2. If a = cosa+ isin a, b = cos~ + i sin, , ~, , and c =cosy+ i sin y then, , abc = (cosa+i sin a)(cosP+i sin P) (cos y+i sin y), abc = cos(a+p+y) + i sin (a+p+y)

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Worked Examples, I) If z = cosl5° + i sin 15° What is the value of z6., , Solution:, Given, , 2) If z = cos, , z, , =, , cos 15° + i sin 15°, , z6, , =, , (cosl5° + i sin 15°)6, , =, , cos (6 x 15°) + i sin (6 x 15°), , =, , cos90° + i sin 90°, , =, , 0+i(I), , =, , Ii, , [·: cos 90° = 0, sin 90° = I], , i + i sin i What is the value of z4?, , Solution:, ff, , Given z =, , ', , rt, , •, , cos-+ 1 smz, 2, , z4, , ( cos, , i + i sin if, , m m, , =, , cos 4, , =, , cos 21t + i sin 21t, , + i sin 4, , cos 2 (180°) + i sin 2 (180°), cos 360° + i sin 360°, I + i(0), , [·:n =, , 1so J, 0, , [·:cos 360°= I, sin 360" = OJ, 3) If z = cos 60° + i sin 60° then what is the value of!._, z, , Solution :, cos 60° + i sin 60°, , Given z =, , (cos 60° + I sin 60°), , =, , (cos 60° + i sin 60°)" 1, , =, , cos 60° - i sin 60°, l, . ,/3, --1-, , 2, , 2, , 4) Find the value of cos 10 8 + I sin 1 0 o, cos 3 0 + I sin 3 8, , Solution :, cos 10 e + i sin 10 e, cos 3 o + I sin 3 e, , (cos 9 + I sin 9) 10, (COS O+ I sin 9) 3, , = (cos 9 + i sin 8) 10 - 3, (cos 9, , + i sin 9) 7, , cos 79 + i sin 79, 5) Simplify, , cos 3 o + I sin 3 e, cos e - i sine, , Solution :, cos 3 9 + I sin 3 8, cos 8 - i sin 8, , (cos e + I sin 8) 3, (cos 8 + i sine)-•, , = (cos 9 + i sin 8) 3 +1, (cos 9, , + i sin 9)4, , cos 48 + i sin 48

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15) If x = cos 8 + i sin 8 find xm + 2:... and xm - 2:..., xm, xm, , Solution:, Given, , X, , = cos e + i sine, , xm = (cos 0, , l xm = cosm0, , I.~, , +, , i sin e)m, , + i sin me I, , = cosm0 - i sin me, , <D+ CZ), , I, , ➔, , (1), , ➔, , (2), , ⇒, , = (cos me+ i sin m8) + (cos me - i sin m0), 1, xm+-, , =, , xm, , X, , m, , 1, -xm, , = (cos me+ i sin m0) - (cos me - i sin me), , =, xm -, , 2 cos me, , f.,, , cos me + i sin me - cos me + i sin me, , = 2i sin me, , I, , 16) If a = cos e + i sin 0, b = cos 0 + i sin 0 find ab + a~, , Solution:, Given, , a, , = cos 0 + i sin 0, , b, , = cos 0 + i sin 0, , ab = (cos 0 + i sin 0)(cos 0 + i sin 0), , I ab, , = cos (0 +0) + i sin (0 +0), , la~, , = cos (0+0) - i sin (0 +0), , <D+ CZ), ab+ 2ab, , ➔, , (D, , ⇒, , = [cos (0 + 0) + i sin (0 + 0)] +[cos (0, , I ab + ft; =, , 2 cos (8 + 0)1, , + 0) -, , i sin (8, , + 0)]

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20, , ) S. lif . (cos 38 + i sin 38) 4 (cos 48 + i sin 48) 2, rmp Y · (cos 28 + i sin 28) 5(cos 58 + i sin 58) 3, , Solution:, Given, , (cos 38 + i sin 38)4(cos 48 + i sin 48) 2, (cos 28 + i sin 28) 5(cos 58 + i sin 58) 3, (cos 8 + i sin 8) 4 x3 (cos 8 + i sin 8) 2x4, (cos 8 + i sin 8)SX2(cos 8 + i sin 8)3xs, (cos 8 + i sin 8) 12 (cos 8 + i sin 8) 8, (cos 8 + i sin 8) 10 (cos 8 + i sin 8) 15, , (cos 0, , + i sin 0)12+0-10-15, , (cos 0 + i sin 0)- 5, cos 50 - i sin 50, , 21, , ) Sim Hf : (cos 28- i sin 28)4(cos 48 + i sin 48)- 5, p Y (cos 38 + i sin 38) 2(cos 58- i sin 58)- 3, , Solution:, Given, , (cos 28- i sin 28) 4 (cos 48 + i sin 48)- 5, (cos 38 + i sin 38) 2 (cos 58- i sin 58)- 3, (cos 8 + i sin 8) 4 x- 2 (cos a+ i sin a)-sx 4, (cos 8 + i sin 8) 2X3(cos 8 + i sin 0)- 3x-s, (cos 8 + i sin 8)- 8 (cos 8 + i sin 8)- 20, (cos 8 + i sin 8) 6 (cos 8 + i sin 8) 15, , (cos 0 + i sin 0)- 0 - 20 -, , 6 - 15, , (cos 0 + i sin 0)- 49, cos 490 - i sin 490, , 22, , ) Sim lify . (cos 38 + i sin 38)- 5(cos 28 + i sin 28) 4, p, · (cos 48- i sin 48)- 2(cos 58- i sin 58)3, , Solution:, Given, , (cos 38 + i sin 38)- 5 (cos 28 + i sin 28) 4, (cos 48- i sin 40r 2 ccos 58- i sin 58) 3, (cos 8 + i sin 8)-sx 3 (cos 8 + i sin 8) 4 x2, (cos 8 + i sin a)- 2X- 4 (cos 8 + i sin 8)3x-s, (cos 8 + i sin 8)- 15 (cos 8 + i sin 8) 8, (COS 8 + i sin 8) 8 (COS 8 + i sin eris, , (cos 0 + i sin 0)- 15 + 9 -, , 9 +1 5, , (cos 0 + i sin 0) 0, cos O + i sin 0, = 1 + i(o), = 1, , [·: cos 0=1, sin 0 = 0]

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27) If a = cos a + isin a, b = cos ~ + i sin ~ Show that, , [a-b + -b]a, , (i), , cos ( a - ~) = -12, , (ii), , sin (a+~) =2:, 21, , [ab - ..!..], ab, , Solution:, Given, , = cos a+ i sin a, , a, , = cos~+ i sin ~, cos a+ i sin a, -ba = cos, 13 + i sin 13, b, , (i), , ,~, , = cos (a- ~) + i sin (a-, , b, , 1, , ~), , 1, , ;= (f) = cos (a - 13) + i sin (a - 13), , -ba, , = cos (a - ~) - i sin ( a - ~), , ⇒, , Q)+ CZ), , ~ + !?., , I, , = [cos (a -, , ~) + i sin (a - ~)] + [cos (a - ~) - i sin (a - ~)], , b, , a, , a, , b, , I cos(a -, , ~), , = ¼[~ + ; ], , ab, , = (cos a+ isin a) (cos ~ + i sin ~), = cos (a+~)+ i sin (a+~) I --+ ®, , -+- = 2 cos (a - ~), b a, , (ii), , I ab, -ab1, , =, , I, , 1, , cos (a+ 13) + i sin (a+ (3), , I a~ = cos (a+~) -i sin (a+~), ®-©, 1, , ab- -, , ab, 1, , ab- -, , ab, , I, , --+ @), , ⇒, , =, , [cos (a + ~) + i sin (a + ~)] - [cos (a + ~) - i sin (a + ~:, , =, , 2 i sin (a + ~), , sin (a + ~) =, , 2:2 1 [ab- ..!..], ab