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अध्याय, 7, घन और घनमूल, 7.1 भूमिका, यह कहानी भारत की महान गणितीय प्रतिभावान विभूतियों में से एक एस. रामानुजन के बारे में है ।, एक बार एक अन्य प्रसिद्ध गणितज्ञ प्रोफ़ेसर जी. एच. हार्डी उनसे मिलने एक टैक्सी में आए जिसका, नंबर 1729 था। रामानुजन से बात करते समय, हार्डी ने इस संख्या को 'एक, नीरस' (dull) संख्या बताया। रामानुजन ने तुरंत बताया कि 1729 वास्तव में एक, रोचक संख्या थी। उन्होंने कहा कि यह ऐसी सबसे छोटी संख्या है जिसे दो घनों, (cubes) के योग के रूप में दो भिन्न प्रकारों, |हार्डी-रामानुजन संख्या, 1729 सबसे छोटी हार्डी-रामानुजन, संख्या है। इस प्रकार की अनेक, | संख्याएँ हैं : उनमें से कुछ हैं 4104, व्यक्त किया जा सकता है:, 1729 = 1728 +1 = 123 + 13, (2, 16; 9, 15), 13832 (18, 20%3;, 2, 024)। कोष्ठकों में दी हुई, संख्याएँ लेकर इसकी जाँच कीजिए।, 1729 = 1000 + 729 = 10 + 93, तब से इस संख्या 1729 को हार्डी-रामानुजन संख्या ( Hardy - Ramanujan, Number) कहा जाने लगा, यद्यपि 1729 की यह विशेषता रामानुजन से, लगभग 300 वर्ष पूर्व भी ज्ञात थी।, रामानुजन को इसकी जानकारी कैसे थी? वह संख्याओं से प्यार, करते थे। अपने संपूर्ण जीवन में, वे संख्याओं के साथ प्रयोग करते, रहे। संभवत: उन्होंने वे संख्याएँ ज्ञात की होंगी जिन्हें दो वर्गों के, योग और साथ ही दो घनों के योग के रूप में व्यक्त किया जा, वे आकृतियाँ जिनकी 3 विमाएँ, (dimensions) होती हैं, ठोस आकृतियाँ-, कहलाती हैं।, सकता था।, घनों के अनेक दूसरे रोचक प्रतिरूप (patterns) हैं। आइए, हम, घनों, घनमूलों (cube roots) तथा इनसे संबंधित अनेक रोचक, तथ्यों के बारे में सीखें।, 7.2 घन, आप जानते हैं कि शब्द 'घन' का प्रयोग ज्यामिति में किया जाता है ।, घन एक ऐसी ठोस आकृति है, जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।, 1 cm भुजा वाले कितने घनों से 2 cm भुजा वाला एक घन बनेगा?, 1 cm भुजा वाले कितने घनों से 3 cm भुजा वाला एक घन बनेगा?, 2021-22

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118 गणित, संख्याओं 1, 8, 27, ... पर विचार कीजिए, ये पूर्ण घन (perfect cubes) या घन संख्याएँ, (cube numbers) कहलाती हैं। क्या आप बता सकते हैं कि इनको ये नाम क्यों दिए गए हैं? इनमें, से प्रत्येक संख्या तब प्राप्त होती है, जब एक संख्या को तीन बार लेकर गुणा किया जाता है।, हम देखते हैं कि 1 = 1x1x1 = 1', 8 = 2x2x2 %3D 2°, 27 = 3x3x3 = 33 है।, क्योंकि 5° = 5x5x5 = 125 है, इसलिए 125 एक घन संख्या है । क्या 9 एक घन संख्या है?, नहीं, क्योंकि 9 = 3 x3 है और ऐसी कोई प्राकृत संख्या नहीं है जिसे तीन बार लेकर गुणा करने, पर 9 प्राप्त हो। हम जानते हैं कि 2x2 x2 = 8 और 3x3x3 = 27 है । इससे यह प्रदर्शित होता, है कि 9 एक पूर्ण घन नहीं है । नीचे 1 से 10 तक की संख्याओं के घन दिए गए हैं:, सारणी 1, संख्या, 1, 13 = 1, 2, 23 = 8, संख्याएँ 729, 1000, 1728 भी, 4, पूर्ण कीजिए ।, पूर्ण घन हैं।, 10, यहाँ आप देख सकते हैं कि 1 से 1000 तक केवल दस पूर्ण घन हैं। (इसकी जाँच कीजिए) 1 से 100, तक कितने पूर्ण घन हैं? सम संख्याओं के घनों को देखिए । क्या ये सभी सम हैं ? आप विषम संख्याओं, के घनों के बारे में क्या कह सकते हैं? अब 11 से 20 तक की संख्याओं के घन नीचे दिए जा रहे हैं :, सारणी 2, हम सम हैं और हमारे, घन भी सम हैं।, संख्या, घन, 11, 1331, 12, 1728, 13, 2197, 14, 2744, 15, 3375, 16, 4096, 17, 4913, हम विषम हैं और, हमारे घन भी, विषम हैं।, 18, 5832, 19, 6859, 20, 8000, 2021-22, NÇERT, Nished, no to